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数学认知的双引擎:用于探索、发现的归纳法,
发布时间: 2020-06-28 来源:互联网 点击次数:

归纳法是基于观察,由个别特殊的事例推出同一类事物的一般性结论的思想方法,是数学家寻找和发现真理的主要手段。

欧拉说过,数学是一门需要观察、实验的学科。高斯也曾说过,他的许多定理都是靠归纳法发现的,证明只是一个补行的手续。

归纳法有完全归纳法和不完全归纳法之分。完全归纳法亦称“完全归纳推理”,根据某类事物中之每一事物都具有性质P,推出该类中全部事物都具有性质P的归纳推理方法。因此运用完全归纳法,前提必须包括某类事物中的一切对象,且作为前提的判断也必须是真。不完全归纳法是通过考察一类事物的部分对象,从中作出该类事物的一般性结论的猜想;其大致包含以下几个阶段:观察、实践;推广;猜测一般性结论。不完全归纳法又分:以某个对象的多次重复作为判断根据的枚举归纳;把一类事物中部分对象的因果关系作为判断的前提而作出一般性猜想的因果归纳。

由于事物的特殊性中包含着普遍性,即共性存于个性之中,而相对于“一般”而言,特殊的事物往往显得简单、直观和具体,而为人们所熟知。因此当处理问题时,需要注意到问题的普遍性存于特殊性之中,进而分析考虑把待解决的问题化归为某个特殊问题。这种从特殊认识一般的推理方法正是归纳法。

相反地,由于“一般”概括了“特殊”,“普遍”比“特殊”更能反映事物的本质。因此当处理问题时,将待解决问题置于普遍的情形之中,通过对一般情形的研究去处理特殊情形。这种从一般到特殊推理方式正是演绎法。

从特殊到一般,再从一般到特殊,是认识事物的基本规律。如此看来,在形式逻辑中,归纳和演绎恰好是相对立的。同时,归纳方法有多种形式,不能一概表征为“特殊到一般的推理,如直觉归纳法并非逻辑推理;演绎方法亦不局限于从一般到待殊的推理,其本质在于根据一定的逻揖规则,从前提中得出必然的结论。因此,演绎推理也可以是从一般到一般,特殊到特殊的推理,也不局限于用一般和特殊概念的推理,如命题的演算。

在数学认知活动中,归纳方法往往用于概括由经验获得的事实,再通过演绎方法建立逻辑必然的知识体系。从知识的发现和发展过程来看,归纳与概括和加工事实有关,并且总是以观察和实验的结果为依据;演绎方法则是要从一些作为原理的判断形式,推出一个判断体系,推导程序完全依据所采用的逻辑系统的规则,也即演绎推理的前提需准确无误,推导的过程也要合乎逻辑规则。